Matematik Ödev Notları

Cold-Shadow · 5 Kas 2016

Bildiğiniz üzere YGS-LYS kulübümüz var. Orada post olarak konu paylaşıyoruz. Soru paylaşıyoruz ancak bu şekilde çok düzensiz olduğunu düşünürek "Brain" Abimin önerisi ile bu şekilde yapmaya karar verdik. Bundan sonra ders notlarımız konu altında yazılıp paylaşılacaktır. Her ders için ayrı konu açılacaktır.

iscorpix · 5 Kas 2016

KÜMELER:

A. TANIM

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir.

Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir. a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır. a, A kümesinin elemanıdır. diye okunur. b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır. b, A kümesinin elemanı değildir. diye okunur.

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır.

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez.

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir.

B. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

1. Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır.

A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür.

2. Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özeliği)}

Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur.

Bu ifade x | biçiminde de yazılabilir.

3. Şema Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir.

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.
http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/137.gif

C. EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º D

biçiminde gösterilir.

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

D. BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir.

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir.

E. ALT KÜME - ÖZALT KÜME

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir.

1. Alt Küme

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir.

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir. B É A biçiminde gösterilir.

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir.

2. Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir.

3. Alt Kümenin Özelikleri
Her küme kendisinin alt kümesidir.

i)

A Ì A

ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir.

Æ Ì A

iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir.

ıv) (A Ì B ve B Ì C) ise, A Ì C dir.

v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n 1 dir.

Ü

Elemanları arasında a bulunan n elemanlı bir kümenin,

alt kümelerinden 2n1 tanesinde a bulunmaz.

alt kümelerinden 2n1 tanesinde a bulunur.

F. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir.

1. Kümelerin Birleşimi

A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir.

http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/143.gif
http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/144.gif
2. Birleşim İşleminin Özelikleri
A È Æ = A

a)

b) A È A = A

c) A È B = B È A

d) A È (B È C) = (A È B) È C

e) A Ì B ise, A È B = B

f) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir.

3. Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir

A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir.
http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/145.gif
http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/146.gif
4. Kesişim İşleminin Özelikleri
A Ç Æ = Æ

a)

b) A Ç A = A

c) A Ç B = B Ç A

d) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

e) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

f) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G. EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E ile gösterilir.

http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/147.gif
H. BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ya da A' ile gösterilir.

A' = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir.

Tümleyenin Özelikleri
Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
Buna göre, (A')' = A olur.

Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir. Buna göre, E' = Æ olur.

Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir. Buna göre, Æ' = E olur.

Bir kümenin eleman sayısı ile o kümenin tümleyeninin eleman sayısı toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşittir. Buna göre,

s(A) + s(A') = s(E) olur.

A Ì B ise, B' Ì A' dir.

B' Ì A' ise, A Ì B dir.

E, evrensel küme olmak üzere, A È A' = E dir.

A Ç A' = Æ dir.

(A È B)' = A' Ç B'

(A Ç B)' = A' È B'

E, evrensel küme olmak üzere, E È A' = E dir.

E, evrensel küme olmak üzere, E Ç A' = A' dir.

I. KUVVET KÜMESİ
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir.

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir.

iscorpix · 5 Kas 2016

J. İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A fark B kümesi A B ya da A B biçiminde gösterilir.

A B = {x : x Î A ve x Ï B} dir.

http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/149.jpg
Farkla İlgili Özelikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

i) E A = A'

ii) A B = A Ç B'

iii) (A B)' = A' È B dir.

iv) (A B) È (B A) = A D B (Simetrik Fark)

K. ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

s(A È B) = s(A) + s(B) s(A Ç B)

s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) s(A Ç B) s(A Ç C)

s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

s(A È B) = s(A B) + s(A Ç B) + s(B A)

a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun.

http://img.webme.com/***/u/universiteyehazirlik/150.gif

Şemadaki a, b, c, d bulundukları bölgelerin (kümelerin) eleman sayılarını göstermektedir.

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T V) + s(V T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

s(T') = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

KodAbi · 5 Kas 2016

Hayirli olsun . Bende çaktirmadan bakarim sorulara .

4238 · 5 Kas 2016

Denklemleri anlatacak var mı?

iscorpix · 5 Kas 2016

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER

A. TANIM

a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü, denklemin kökünün oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi denir.

B. EŞİTLİĞİN ÖZELİKLERİ

Denklem çözümünde aşağıdaki özeliklerden yararlanırız.

Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı ilave edilirse eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a + c = b + c dir.

Bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a c = b c dir.

Bir eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, a × c = b × c dir.

Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile bölünürse eşitlik bozulmaz.

Bir eşitliğin her iki tarafının n. kuvveti alınırsa eşitlik bozulmaz.

a = b ise, an = bn dir.

(a = b ve b = c) ise, a = c dir.

(a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d dir.

(a = b ve c = d) ise, a × c = b × d dir.

a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.

a × b ¹ 0 ise, (a ¹ 0 ve b ¹ 0) dır.

C. ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ

a ¹ 0 olmak üzere,

(a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi dir.

(a = 0 ve b ¹ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir sayı yoktur. Yani, Ç = Æ dir.

D. BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ

a, b, c Î , a ¹ 0 ve b ¹ 0 olmak üzere,

ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.

Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden oluşur.

a, b, c Î olmak üzere,

ax + by + c = 0

denklemi her (x, y) Î 2 için sağlanıyorsa

a = b = c = 0 dır.

Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

Çözüm Kümesinin Bulunması

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi; yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.

Biz burada üçünü vereceğiz.a. Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçimde verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.

Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa Yok etme yöntemi kolaylık sağlar.

b. Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.

Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca çekilebiliyorsa, Yerine koyma yöntemi kolaylık sağlar.

c. Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır (eşitlenir).

Her iki denklemden de aynı değişken kolayca çekilebiliyorsa, Karşılaştırma yöntemi kolaylık sağlar.

Ü

ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sistemini göz önüne alalım:

Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.

ax + by + c = 0

dx + ey + f = 0

denklem sisteminde,ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.

Birinci durum:

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek noktadan oluşur.

İkinci durum:ise, bu iki doğru çakışıktır.

Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz noktadan oluşur.

Üçüncü durum:ise, bu iki doğru paraleldir.

Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.

Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş kümedir.

Matematik Ödev Notları

Cold-Shadow

Kıdemli Üye

iscorpix

Kıdemli Üye

iscorpix

Kıdemli Üye

KodAbi

Uzman üye

4238

Uzman üye

iscorpix

Kıdemli Üye

Sosyal medya sayfalarımız